圆周角定理及其推论中一类典型问题的延伸
来源: | 作者:qujianfeng999 | 发布时间: 2019-11-20 | 101 次浏览 | 分享到:
  摘要:通过在圆周角定理及其推论中一类简单例题的教学中运用一题多变、一法多用和一题多解的延伸式推理教学方法,有效地培养了学生思维的广阔性和创新意识,启发了学生学习的兴趣。
数学知识形成的思维过程,主要体现在问题提出的思维过程和问题解决的思维过程上,教师在教学中充分突出公式、定理的探索过程,让学生有机会思考,直接去感受问题,从而激发学生主动探索、独立揭疑的欲望,使学生能自觉、执著地应用自己已有的基础知识和数学思想,对信息进行分析、归纳、整理,得到解决问题的规律和方法,获得知识,有新的见解,也达到培养学生创新思维的目的。 
  例1,如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆的直径,求证:AB·AC=AD·AE. 
  此题是在讲完圆周角定理及其推论后的一则典型例题,这道例题的结论为AB·AC=AD·AE。从结论分析来看,这是等积式,若要证明,则须有成比例线段,结合图形分析来看,可以找三角形相似得对应边成比例,问题在于找哪两个三角形相似。如果找△ABD,在△ABD中包含了两条线段AB,AD,则应该连结EC,找到另一个△AEC,证△ABD与△AEC相似;如果找△ADC,在△ADC中包含了两条线段AC,AD,则应该连结BE,找到另一个△ABE,证△ADC与△ABE相似。 
  证明:连结BE,因为AE是直径,所以∠ABE=90°.又因为∠ADC=90°,所以∠ABE=∠ADC.又因为∠E=∠C,所以△ABE∽△ADC,得ABAD=AEAC,故AB·AC=AD·AE. 
  此例题的证明实际证得一个定理. 
  定理1:三角形任意一边上的高与其外接圆直径的积,等于另两边的积。 
  单纯证明这道题比较容易,因为从结论出发进行分析时目标比较明确,只要找到对应的三角形即可,若离开这个结论,就不知道该从哪个方面去分析,此定理的延伸与应用在中考与数学竞赛时经常选用,但课本上并未直接给出定理,所以学生在做与本定理相关的题时不易联想到定理与基本图形,给解题带来困难。 
  例2,如图1,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的高,AB=b,△ABC的外接圆直径为d,则AD=( )。 
  由已知分析,AB,AC,d与AD的关系很少见,特别是不知道存在何种关系的条件下,该如何分析令学生很头痛,若不记定理或基本图形,直径在图中如何放置都成问题,则不容易完成填空。若将上述内容以定理或延伸的形式展现给学生,使学生对其理解透彻,抓住特征,再遇到类似这种题目时,可以在较短的时间内分析出这道题所应该使用的方法。由AB·AC=AD·d得AD=AB·ACd,可直接完成填空。 
  例3,如图2,已知△ABC内接于⊙O,AD是BC边上的高,求证:∠BAO=∠DAC。 
  学生按照思维定势,习惯于连结BO,此时并不存在△ABO与△ADC的相似或全等,使证明无法进行下去。要找到∠BAO=∠DAC,首先看哪些条件与这两个角有关系,从∠DAC出发,这个角在Rt△ADC中是锐角,与∠C互余,那么就看∠BAO是否也在直角三角形中。∠BAO与半径有关系,若延长AO与圆交于点E,可得到直径,由AE为直径,可得到直径所对的圆周角为直角,连结BE,则∠ABE=90°,此时∠BAO在Rt△ABE中,与∠E互余,由同弧所对的圆周角相等,在图2中可看到∠C=∠E,证△ADC与△ABE相似或利用三角形内角和定理即可得到结论。 
  例4,如图2,AD是△ABC的高,AE是其外接圆的直径,△ABC的面积为S,求证:S=AB·AC·BC2AE. 
  从结论来看,△ABC的面积为S=12BC·AD,将这一条件与结论放到一起进行分析,12BC·AD=AB·AC·BC2AE可得AD=AB·ACAE,再变形,得AD·AE=AB·AC.此时,要证明的条件与上述定理完全一致,如果记得这个定理,接下来就不需要进一步分析,可直接得到结论,否则,需要按照以上证明的过程继续分析下去。 
  例5,如图3,AE是△ABC外接圆的直径,弦AF⊥BC于D,∠BAC的平分线AG交⊙O于H,求证:AD·AE=AG·AH. 
  此题图3中线段较多,若不考虑定理与基本图形,极难理出头绪。所证等积线段在图中并未分布在两个三角形中。所以由证明三角形相似而直接得结论的思路行不通,所以应该考虑通过中间比过渡,因所证结论为AD·AE=AG·AH, 
  但由定理知AD·AE=AB·AC,要证结论成立,只要证明AB·AC=AG·AH就可得出结论。由图3不难发现在所涉及的4條线段分布于△AHB与△ACG中,而由已知条件并不难证明这两个三角形相似。 
  思维的广阔性是指思路宽广,善于多角度,多层次地进行探索.根据学生的思维发展,设计一些思维层次相似或递进的不同图形,通过一题多解、一法多用的变式教学,使学生掌握的不仅是一个问题的解决方法,而是一类问题的解决方法。定理1可与函数问题相联系,从复杂的问题中分析出一些特殊条件,使问题变得简单易解。 
  例6,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB+AC=12,AD⊥BC于D,AD=3,设⊙O的半径为y,AB=x,求:(1)y与x之间的函数关系;(2)当AB的长为多少时,面积最大?并求出⊙O的最大面积。 
  分析:在(1)中要找到函数关系,就要找到AB,y与其它线段的关系。一般来说,找三角形相似得到成比例线段,在图中有两个直角三角形,若过点A作⊙O的直径,既可得到直角三角形,又可与y联系起来,得到2y·AD=AB·AC. 
  解:(1)因为AB+AC=12,AB=x,所以AC=12-x.由定理1得2y·AD=AB·AC,即2y·3=x(12-x),所以y=-16x2+2x(0  (2)将上式变形,即y=-16x2=-16x2=-16(x-6)2+6 
  则当AB=6时,⊙O的半径y最大,y最大=6.当y=6时,⊙O的面积最大,⊙O的最大面积为π·62=36π.