高考圆锥曲线压轴题的破解策略
来源: | 作者:qujianfeng999 | 发布时间: 2019-09-29 | 8 次浏览 | 分享到:
【摘要】本文主要探讨了高考圆锥曲线压轴题的破解策略.
 一、轨迹问题 
  轨迹问题是高考中经常出现的一种考查圆锥曲线问题的习题类型. 
  例如,已知原点O为椭圆C的对称中心,该椭圆的焦点在x轴上,F1,F2分别是左、右两个焦点,且|F1F2|=2,点1,32在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C与过左焦点F1的直线l,相交于A,B两点,若△AF2B的面积为1222,求与直线l相切且以F2为圆心的圆的方程. 
  解析 (1)由题意知c=1,2a=32+322+22=4,a=2,故椭圆的方程为x24+y23=1. 
  (2)当直线l与x轴垂直时,可取A-1,-32,B-1,32,△AF2B的面积为3,不符合题意. 
  当直线l与x轴不垂直的时候,设直线l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程得 
  (3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然Δ>0成立, 
  设A(x1,y1),B(x2,y2), 
  则x1+x2=-8k23+4k2,x1·x2=4k2-123+4k2, 
  可得|AB|=12(k2+1)3+4k2, 
  又圆F2的半径r=2|k|1+k2, 
  所以△AF2B的面積为 
  12|AB|r=12|k|k2+13+4k2=1227, 
  化简得17k4+k2-18=0,得k=±1, 
  ∴r=2,圆的方程为(x-1)2+y2=2. 
  二、直线与圆锥曲线位置关系的问题 
  直线与圆锥曲线位置关系的问题,是高考中关于圆锥曲线问题的重点考查部分. 
  例如,已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求该椭圆的离心率;(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论. 
  解析 (1)根据题目当中的条件,椭圆C的方程为x24+y22=1,所以a2=4,b2=2,c2=a2-b2=4-2=2, 
  ∴e=ca=22. 
  (2)直线AB与圆x2+y2=2相切,证明如下: 
  根据题意设点A(x0,y0),B(t,2),其中x0≠0, 
  因为OA⊥OB,所以OA×OB=0, 
  即tx0+2y0=0解得t=-2y0x0, 
  当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程得t=±2,此时直线AB与圆x2+y2=2相切. 
  当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t), 
  即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0, 
  圆心到直线AB的距离为d=|2x0-ty0|(y0-2)2+(x0-t)2, 
  又x20+2y20=4,t=-2y0x0, 
  故d=2x0-2y20x0x20+y20+4y20x20x40+8x20+162x20=2, 
  故直线AB与圆x2+y2=2相切. 
  总而言之,在进行高考中圆锥曲线问题解答时,教师要引导学生根据题型进行针对性的解答,从而实现圆锥曲线问题的突破. 
  【参考文献】 
  [1]王歆越.优化圆锥曲线解题过程的有效方式分析[J].散文百家(新语文活页),2018(9):151. 
  [2]彭泽海.圆锥曲线的解题妙法[J].智富时代,2018(9):227.