高中解析几何简化计算之点乘双根法
来源: | 作者:qujianfeng999 | 发布时间: 2019-09-29 | 27 次浏览 | 分享到:
 【摘要】高中解析几何在求解圆锥曲线与直线问题的时候,通常需要联立方程,利用韦达定理去求解.利用韦达定理进行运算求解时,稍不注意就容易出错.在求解点乘或者斜率乘积为定值,甚至求x1x2,y1y2的时候,我们可以改进解法,引入点乘双根法,避开韦达定理,简化计算,减少失误.
 我们知道当二次函数有两个零点的时候,可以写成双根的形式:y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).在解析几何中,出现PA·PB等于常数,可用点乘双根法(其中P为已知点,A,B为直线与圆锥曲线的交点).方法如下:联立x2a2+y2b2=1,y=kx+m, 可得b2x2+a2(kx+m)2-a2b2=(a2k2+b2)(x-x1)(x-x2),接着对x用赋值法即可得到x1x2,y1y2或者(x1+t)(x2+t),代入PA·PB的等式求解即可. 
  点乘双根法对比常规解法,其优点在于,避开利用韦达定理进行繁杂计算的过程,达到简化计算、提高解题速度的效果,下面举例说明. 
  例1 (2018年西南四省名校高三第一次大联考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),过F且与x轴垂直的弦长为3. 
  (1)求椭圆标准方程. 
  (2)直线l过点F与椭圆交于A,B两点,问x轴上是否存在点P,使PA·PB为定值?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由. 
  解 (1)易得椭圆标准方程为x24+y23=1; 
  (2)当直线l的斜率存在时,设为k,则直线l的方程为y=k(x-1),联立x24+y23=1,y=k(x-1), 
  得3x2+4k2(x-1)2-12=(3+4k2)(x-x1)(x-x2).(Ⅰ) 
  设P(m,0),A(x1,y1),B(x2,y2), 
  则PA=(x1-m,y1),PB=(x2-m,y2), 
  PA·PB=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-1)(x2-1).(Ⅱ) 
  在(Ⅰ)中令x=m得 
  (x1-m)(x2-m)=3m2+4k2(m-1)2-123+4k2.(Ⅲ) 
  在(Ⅰ)中令x=1得(x1-1)(x2-1)=-93+4k2.(Ⅳ) 
  把(Ⅲ)(Ⅳ)代入(Ⅱ)并整理得 
  PA·PB=(4(m-1)2-9)k2+(3m2-12)4k2+3, 
  所以(4(m-1)2-9)4=3m2-123,得m=118, 
  此时PA·PB=-13564. 
  当直线l的斜率不存在时,A1,32,B1,-32,P118,0,仍有PA·PB=-13564. 
  综上所述,P的坐标为P118,0. 
  评析 在(Ⅰ)式中联立直线与圆锥曲线方程消y后,一定要把式子写成双根的形式,才能接著往后进行赋值求解. 
  例2 (2018年桂林市、贺州市高三联合调研考试)已知点1,32在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,且椭圆的离心率为12. 
  (1)求椭圆C的方程. 
  (2)若M为椭圆C的右顶点,点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14.试判断直线AB是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
  解 (1)易得椭圆标准方程为x24+y23=1; 
  (2)当直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0),联立x24+y23=1,y=kx+m, 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=(3+4k2)(x-x1)(x-x2).(Ⅰ) 
  由题意有M(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则 
  kMAkMB=y1y2(x1-2)(x2-2)=(kx1+m)(kx2+m)(x1-2)(x2-2)=k2x1+mkx2+mk(x1-2)(x2-2)=14.(Ⅱ) 
  在(Ⅰ)中令x=2得 
  (x1-2)(x2-2)=16km+16k2+4m23+4k2.(Ⅲ) 
  在(Ⅰ)中令x=-mk得 
  x1+mkx2+mk=3m2k2-123+4k2.(Ⅳ) 
  把(Ⅲ)(Ⅳ)代入(Ⅱ)并解得m=-2k或者m=4k. 
  当m=-2k时,直线AB的方程为y=k(x-2)过定点(2,0),与点M重合,不符合题意,舍掉. 
  当m=4k时,直线AB的方程为y=k(x+4)过定点(-4,0).综上所述,直线AB过定点(-4,0). 
  评析 例2(Ⅱ)中需要求y1y2,但在(Ⅰ)式没法用赋值法得到(kx1+m)(kx2+m).因此需要把x1和x2的系数k提到括号前面,得到y1y2=k2x1+mkx2+mk即可. 
  通过上面两道例题,我们可以比较详细地了解到点乘双根法的整个过程与优点.例1展示了常规的点乘双根法,例2展示在处理过程中需要注意的细节.请读者自行用传统法求解上述两道例题,对比点乘双根法的优点.