关于求解两个随机变量函数的分布的方法研究
来源: | 作者:qujianfeng999 | 发布时间: 2019-09-29 | 15 次浏览 | 分享到:
【摘要】求两个随机变量函数的分布在概率论的学习中是一个重点内容,也有若干种解法,学生们掌握起来也比较困难,本文给出不同情况的两个随机变量的各种求解方法,并给出应用举例.
一、引 言 
  在概率论与数理统计中,随机变量分为三类——离散型、连续型及奇异型,但我们一般只需要掌握前两类.两个随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y)依然是随机变量,则求解这个随机变量的分布就是我们讨论的一个关键问题,下面给出各种不同情况下,求解两个随机变量函数的分布的各种方法. 
  二、两个随机变量都是离散型 
  已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律,求解其函数Z=g(X,Y)的分布,通过直接分析便可以得到所求. 
  例1 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如表1所示,求Z=2X-Y的分布律. 
  三、两个随机变量都是连续型 
  (一)分布函數法 
  设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y),已知Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的函数,求随机变量Z的概率密度函数fZ(z). 
  随机变量的概率密度函数和分布函数有如下关系fZ(z)=FZ′(z),所以可以先求随机变量Z的分布函数,求解过程如下: 
  FZ(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤Z} 
  =P{X,Y}∈D:g(x,y)≤z 
  =g(x,y)≤zf(x,y)dxdy, 
  然后对分布函数求导得到概率密度函数fZ(z)=dFZ(z)dz. 
  (二)卷积公式法 
  设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y),已知Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的函数,求随机变量Z的概率密度函数fZ(z). 
  当函数z=g(x,y)关于变量y严格单调,容易解得其反函数y=h(x,z),则有 
  四、一个随机变量是离散型,一个是连续型 
  (一)全集分解法 
  设连续型随机变量X,取有限值的离散型随机变量Y,当X,Y相互独立,求Z=g(X,Y)的分布函数时,对离散型随机变量Y进行全集分解. 
  例3 设随机变量X,Y相互独立,X的概率密度函数为f(x)=e-x,x>0,0,else. 
  (二)结论法 
  设取有限值的离散型随机变量X,其分布律为P{X=xi}=pi(i=1,…,n),连续型随机变量Y,其概率密度函数为fY(y)当X,Y相互独立.当函数z=g(x,y)关于变量y严格单调,则其反函数存在y=h(x,z)有连续导数,则Z=g(X,Y)是连续型随机变量,其概率密度函数为 
  fZ(z)=∑ni=1pifY[h(x,z)]h(x,z)z,a   其中a是z=g(x,y)关于y的最小值,b是关于z=g(x,y)关于y的最大值. 
  例4 设随机变量X,Y相互独立,X的分布律为P{X=xi}=13(i=1,2,3).Y的概率密度函数为fY(y)=1,0   解 因为z=xi+2y(i=1,2,3)是y的严格单调增函数,其反函数y=z-xi2,有导函数y′=12,由结论得 
  五、结束语 
  本文针对两个随机变量的函数的分布,分别对两个离散型随机变量,两个连续型随机变量及其一个离散型,一个连续型随机变量的三种情况,给出了不同的方法,方便大家掌握:不同情形,应该应用不同方法解决问题. 
  【参考文献】 
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