高中数学教学中应注重“通性通法”的运用
来源: | 作者:qujianfeng999 | 发布时间: 2019-10-09 | 4 次浏览 | 分享到:
摘 要:在高中数学教学中,“通性通法”经常处于尴尬的境地:一方面高考试题始终践行着考纲中“注重通性通法,淡化特殊技巧”的指导思想,另一方面“通性通法”却在教学中备受冷落。此外,因为学生沉溺于浩渺题海,已无力、无意去识得“通性”、识别“通法”。因此,“通性通法”已被边缘化。为了纠正这一误区,我们应认真思考考纲所要求的“注重通性通法”的内涵,并真正将其落实到我们的教学实践中去,减轻学生负担的同时,提高学生的数学水平。
 一、注重通性通法关键在于概括,要揭示数学的本质 
  “通法”一般自然流畅,定势繁琐,但并不是容易想到的、过程繁锁的就是通法。运用通法的过程是从概括出来的一般形式去考虑具体的问题,注重通性通法的关键在于概括,要揭示数学的本质。如: 
  例1:在椭圆x2a2+y2b2=1(a,b∈R,a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆上存在点P,满足PF1=2PF2,则这些椭圆的离心率的取值范围是[13,1)。 
  该题主要有两种解法: 
  法1:直接用焦半径的性质,由椭圆的定义PF1+PF2=2a,又因为PF1=2PF2,所以得PF2=23a。又因为必须满足a-c≤PF2≤a+c,即a-c≤23a≤a+c解得13≤e<1。 
  法2:转化为坐标,因为PF1d1=ca,PF2d2=ca,所以条件可化为:d1=2d2,设P的横坐标为x,则x+a2c=2(a2c-x),所以x=a23c,又因为-a≤x≤a,即-a≤a23c≤a,下略。 
  法3:先分离变量,PF1PF2=2,又PF1+PF2=2a,得2aPF2-1=2。 
  又因为2aa+c-1≤2aPF2-1≤2aa-c-1,所以2aa+c-1≤2≤2aa-c-1,下略。 
  法1、法2在圆锥曲线章节中比较容易想到,法3则跳出了圆锥曲线,有了函数的味道。实际上本题的通性是关键词“存在”,这和下列函数中的有关“存在”和“恒成立”的题型如出一辙,如函数f(x)=x2+ax+4,(1)若对任意x0∈[1,4],总有f(x)<0,求实数a的取值范围。(2)若存在x0∈[1,4],使f(x)<0,求实数a的取值范围。解决这一类题型的方法就是要设定一个变量,构造函数(变量),如分离变量得-a>x+4x;而上述三种方法本质上就是消元、构造函数的过程,法3的分离变量的手段和函数更为相近。 
  二、变式教学有助于学生识得通性、获得通法 
  学生学数学时常感叹题海浩渺,而高考专家却宣称根本没有那么多题目,应付高考只需要做50题,掌握其中的通性通法并熟练运用即可。而通性通法概括其中隐蔽特性的过程较抽象,学生难以接受和领会,那我们可以通过变式教学,通过改变题目的条件和形式,引导学生从变化中观察不变因素,概括通性、获得通法。 
  如对于例1我们可以进行以下的变式: 
  变式1:椭圆x2a2+y2b2=1(a,b∈R,a>b>0),若椭圆上存在点P,满足PF1=2d(F1为椭圆的左焦点,d为P到右准线的距离),则这些椭圆的离心率的取值范围是。 
  变式2:椭圆x2a2+y2b2=1(a,b∈R,a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,若椭圆上存在点P(异于长轴的端点),满足asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,则这些椭圆的离心率的取值范围是。 
  变式3:椭圆x2a2+y2b2=1(a,b∈R,a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆的有准线上存在点P,使线段PF1的中垂线过F2,则椭圆的离心率的取值范围为。 
  变式4:椭圆x2a2+y2b2=1(a,b∈R,a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=60°,则椭圆离心率e的取值范围为。 
  变式5:已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a,b∈R,a>b>0)的两个焦点,满足PF1·PF2=0的点P总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是。 
  上述变式1-3都可以消元轉化成变量焦半径的范围;而变式4-5,则转化为变量∠F1PF2的范围,通过解不等式即可解决。通过实例学生比较容易产生顿悟,将很多题还原成一种类型,体会到本类题的通性是“存在性”问题,通法是“消元,构建一个变量的函数”。 
  总之,“通性通法”蕴含在具体的题目中,蕴含在知识的发生发展的过程中,因此,我们要不断对例题和解法进行“提炼”和“概括”,挖掘“通性”,获取“通法”;对于不同的解题方法准确分析各自的特性和适用条件,将特性巧解发展为通性通解,这样才能真正抓住蕴含在其中的数学本质规律,在解题教学中做到“练一题、学一法、会一类、通一片”,以提高教学效率。